Nombre premier de Sophie Germain
Un nombre premier G est appelé nombre premier de Sophie Germain si 2G + 1 est aussi un nombre premier, qui est alors appelé nombre premier sûr et noté S dans ce qui suit.
Un corollaire du théorème de Sophie Germain est que pour ces nombres premiers, un cas particulier du dernier théorème de Fermat (le « premier cas ») est vrai, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'entiers x, y, z tous trois non divisibles par G tels que xG + yG = zG.
Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain ; cependant, comme pour la conjecture des nombres premiers jumeaux, cela n'a pour le moment pas été démontré.
Listes de nombres premiers de Sophie Germain
Les quarante-cinq premiers nombres premiers de Sophie Germain sont (voir suite A005384 de l'OEIS) :
2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1 013, 1 019, 1 031, 1 049, 1 103, 1 223, 1 229 et 1 289.
Ils sont classés dans les deux tableaux ci-dessous, ordonnés sous la forme Gi inscrite en gras sous leur occurrence dans la liste complète des nombres premiers p, associés à leur nombre premier sûr noté Si = 2Gi + 1 dans la case immédiatement au-dessous.
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Les seize nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et 127 sont présentés dans le tableau 1 ci-dessous. À partir de 131, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.
décades d'entiers n | première décade | deuxième décade | troisième décade | quatrième décade | cinquième décade | sixième décade | septième décade | huitième décade | neuvième décade | dixième décade | onzième décade | douzième décade | treizième décade |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
entiers n = | 00 à 09 | 10 à 19 | 20 à 29 | 30 à 39 | 40 à 49 | 50 à 59 | 60 à 69 | 70 à 79 | 80 à 89 | 90 à 99 | 100 à 109 | 110 à 119 | 120 à 127 |
premiers dont Gi et Si | -[n 1] | 11 G4 et S3 | 23 G5 et S4 | 31 | 41 G7 | 53 G8 | 61 | 71 | 83 G9 et S7 | 97 | 101 | 113 G11 | 127 |
S | -[n 1] | S4=23 | S5=47 | - | S7=83 | S8=107 | - | - | S9=167 | - | - | S11=227 | - |
premiers dont Gi et Si | -[n 2] | 13 | 29 G6 | 37 | 43 | 59 S6 | 67 | 73 | 89 G10 | 103 | (131) (G12) | ||
S | -[n 2] | - | S6=59 | - | - | - | - | - | S10=179 | - | (S12=263) | ||
premiers dont Gi et Si | 2 G1 | 17 | 47 S5 | 79 | 107 S8 | (173) (G13) | |||||||
S | S1=5 | - | - | - | - | (S13=347) | |||||||
premiers dont Gi et Si | 3 G2 | 19 | 109 | (179) (S10 et G14) | |||||||||
S | S2=7 | - | - | (S14=359) | |||||||||
premiers dont Gi et Si | 5 G3 et S1 | (191) (G15) | |||||||||||
S | S3=11 | (S15=383) | |||||||||||
premiers dont Gi et Si | 7 S2 | (233) (G16) | |||||||||||
S | - | (S16=467) | |||||||||||
sous-totaux des p, Gi, Si, par décade | 4 p 3 G 2 S | 4 p 1 G 1 S | 2 p 2 G 1 S | 2 p 0 G 0 S | 3 p 1 G 1 S | 2 p 1 G 1 S | 2 p 0 G 0 S | 3 p 0 G 0 S | 2 p 2 G 1 S | 1 p 0 G 0 S | 4 p 0 G 1 S | 1 p 1 G 0 S | 1 p 0 G 0 S |
Totaux et ratios A | - A1 - 25 soit 25 % de nombres premiers p parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99, à comparer à : 10 soit 10 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99. | ||||||||||||
Totaux et ratios B | - B1 - 31 soit 24 % de nombres premiers p parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127, à comparer à : 11 soit 8,6 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127. |
- ↑ a et b Le nombre 0 n'est pas premier. Par conséquent 1 = 2 × 0 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.
- ↑ a et b Le nombre 1 n'est pas premier. Par conséquent 3 = 2 × 1 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.
- ↑ Les deux nombres premiers de Sophie Germain complémentaires inférieurs à 256 qui n'apparaissent pas dans le tableau sont : G17 = 239 et G18 = 251.
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Les nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et 1 023 sont présentés dans le tableau 2 ci-dessous. À partir de 1 031, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.
centaines d'entiers n | premier cent | deuxième cent | troisième cent | quatrième cent | cinquième cent | sixième cent | septième cent | huitième cent | neuvième cent | dixième cent | + 23 → 1023 | ||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Typ | Qté | 00 | 10 | 20 | 00 | 10 | 20 | 00 | 10 | 00 | 10 | 00 | 10 | 00 | 10 | 00 | 10 | 00 | 10 | 00 | 10 | 00 | 10 | 00 | |
p Gi Si | 01 | 2 G1 | 31 | 73 | 101 | 151 | 199 | 211 | 269 | 307 | 367 | 401 | 461 | 503 S18 | 577 | 601 | 659 G30 | 701 | 769 | 809 G35 | 863 S23 | 907 | 977 | 1009 | |
S | S1=5 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | S30=1319 | - | - | S35=1619 | - | - | - | - | ||
p Gi Si | 02 | 3 G2 | 37 | 79 | 103 | 157 | 223 | 271 | 311 | 373 | 409 | 463 | 509 G26 | 587 S20 | 607 | 661 | 709 | 773 | 811 | 877 | 911 G36 | 983 S25 | 1013 G38 | ||
S | S2=7 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | S26=1019 | - | - | - | - | - | - | - | S36=1823 | - | S38=2027 | |||
p Gi Si | 03 | 5 G3 S1 | 41 G7 | 83 G9 S7 | 107 S8 | 163 | 227 S11 | 277 | 313 | 379 | 419 G22 | 467 S16 | 521 | 593 G27 | 613 | 673 | 719 G32 S21 | 787 | 821 | 881 | 919 | 991 | 1019 G39 S26 | ||
S | S3=11 | S7=83 | S9=167 | - | - | - | - | - | - | S22=839 | - | - | S27=1187 | - | - | S32=1439 | - | - | - | - | - | S39=2039 | |||
p Gi Si | 04 | 7 S2 | 43 | 89 G10 | 109 | 167 S9 | 229 | 281 G19 | 317 | 383 S15 | 421 | 479 S17 | 523 | 599 | 617 | 677 | 727 | 797 | 823 | 883 | 929 | 997 | 1021 | ||
S | - | - | S10=179 | - | - | - | S19=563 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | |||
p Gi Si | 05 | 11 G4 S3 | 47 S5 | 97 | 113 G11 | 173 G13 | 233 G16 | 283 | 331 | 389 | 431 G23 | 487 | 541 | 619 | 683 G31 | 733 | 827 | 887 S24 | 937 | (1031) (G40) | |||||
S | S4=23 | - | - | S11=227 | S13=347 | S16=467 | - | - | - | S23=863 | - | - | - | S31=1367 | - | - | - | - | (S40= 2063) | ||||||
p Gi Si | 06 | 13 | 53 G8 | 127 | 179 G14 S10 | 239 G17 | 293 G20 | 337 | 397 | 433 | 491 G25 | 547 | 631 | 691 | 739 | 829 | 941 | (1049) (G41) | |||||||
S | - | S8=107 | - | S14=359 | S17=479 | S20=587 | - | - | - | S25=983 | - | - | - | - | - | - | (S41= 2099) | ||||||||
p Gi Si | 07 | 17 | 59 S6 | 131 G12 | 181 | 241 | 347 S13 | 439 | 499 | 557 | 641 G28 | 743 G33 | 839 S22 | 947 | (1103) (G42) | ||||||||||
S | - | - | S12=263 | - | - | - | - | - | - | S28=1283 | S33=1487 | - | - | (S42= 2207) | |||||||||||
p Gi Si | 08 | 19 | 61 | 137 | 191 G15 | 251 G18 | 349 | 443 G24 | 563 S19 | 643 | 751 | 853 | 953 G37 | (1223) (G43) | |||||||||||
S | - | - | - | S15=383 | S18=503 | - | S24=887 | - | - | - | - | S37=1907 | (S43= 2447) | ||||||||||||
p Gi Si | 09 | 23 G5 S4 | 67 | 139 | 193 | 257 | 353 | 449 | 569 | 647 | 757 | 857 | 967 | (1229) (G44) | |||||||||||
S | S5=47 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | (S44= 2459) | ||||||||||||
p Gi Si | 10 | 29 G6 | 71 | 149 | 197 | 263 S12 | 359 G21 S14 | 457 | 571 | 653 G29 | 761 G34 | 859 | 971 | (1289) (G45) | |||||||||||
S | S6=59 | - | - | - | - | S21=759 | - | - | S29=1307 | S34=1523 | - | - | (S45= 2579) | ||||||||||||
ss-totaux et ratios par cent | 25 p → 25 % 10 G → 10 % 7 S → 7 % | 21 p → 21 % 5 G → 5 % 3 S → 3 % | 16 p → 16 % 5 G → 5 % 2 S → 2 % | 16 p → 16 % 1 G → 1 % 3 S → 3 % | 17 p → 17 % 4 G → 4 % 2 S → 2 % | 14 p → 14 % 2 G → 2 % 3 S → 3 % | 16 p → 16 % 4 G → 4 % 0 S → 0 % | 14 p → 14 % 3 G → 3 % 1 S → 1 % | 15 p → 15 % 1 G → 1 % 3 S → 3 % | 14 p → 14 % 2 G → 2 % 1 S → 1 % | 4 p 2 G 1 S | ||||||||||||||
Totaux et ratios A | - A1 - 168 soit 16,8 % de nombres premiers p parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999, à comparer à : 37 soit 3,70 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999. | ||||||||||||||||||||||||
Totaux et ratios B | - B1 - 172 soit 16,8 % de nombres premiers p parmi les 1 024 entiers n compris entre 0 et 1 023, à comparer à : 39 soit 3,81 % de nombres premiers de Sophie Germain G parmi les 1024 entiers n compris entre 0 et 1023. |
Quantité de nombres premiers de Sophie Germain
Une estimation heuristique pour la quantité de nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à n est[1] 2C2 n / (ln n)² où C2 est la constante des nombres premiers jumeaux, approximativement égale à 0,660161. Pour n = 104, cette estimation prédit 156 nombres premiers de Sophie Germain, qui est de 20 % d'erreur comparé à la valeur exacte de 190. Pour n = 107, l'estimation prédit 50 822, qui est d'un écart de 10 % par rapport à la valeur exacte de 56 032.
Chaîne de Cunningham
Une suite {p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...} de nombres premiers de Sophie Germain est appelée une chaîne de Cunningham de première espèce. Chaque terme d'une telle suite, à l'exception du premier et du dernier, est à la fois un nombre premier de Sophie Germain et un nombre premier sûr. Le premier est un nombre de Sophie Germain, le dernier un nombre premier sûr.
Exemple d'application
Soit un nombre premier de la forme . Alors est un nombre premier de Sophie Germain si et seulement si le nombre de Mersenne est un nombre composé dont est un diviseur[2]. Ce théorème dû à Euler[2] peut être utilisé comme test de primalité[2]; par exemple 83 est premier (et 83 = 4 × 20 + 3) de même que 167 = 2 × 83 + 1. Par conséquent est divisible par 167 et n'est donc pas premier.
Références
- ↑ (en) Victor Shoup, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra, Cambridge University Press, (lire en ligne), chap. 5.5.5 (« Sophie Germain primes »), p. 123-124.
- ↑ a b et c G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], chapitre 6 (« Le théorème de Fermat et ses conséquences »), section 6.15.
Voir aussi
Article connexe
Lien externe
« Nombres - Curiosités, théorie et usages : Nombres premiers de Sophie Germain », sur villemin.gerard.free.fr
- Arithmétique et théorie des nombres