Identità di Lagrange

In algebra, l'identità di Lagrange è l'identità quadratica che coinvolge il prodotto vettoriale: [1][2]

( ∑ k = 1 n a k 2 ) ( ∑ k = 1 n b k 2 ) − ( ∑ k = 1 n a k b k ) 2 = ∑ i = 1 n − 1 ∑ j = i + 1 n ( a i b j − a j b i ) 2 ( = 1 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( a i b j − a j b i ) 2 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}{\biggr )}-{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr )}^{2}&=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\\&{\biggl (}={1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}{\biggr )},\end{aligned}}}

che si applica ad ogni coppia di insiemi {a1, a2, . . ., an} e {b1, b2, . . ., bn} di numeri reali o complessi (o, più generalmente, di elementi di un anello commutativo). Questa identità è una forma speciale dell'identità di Binet–Cauchy.

Per numeri reali, l'identità si può scrivere in una notazione più compatta utilizzando il prodotto scalare, [3]

‖ a ¯ ‖ 2   ‖ b ¯ ‖ 2 − ‖ ( a ¯ ⋅ b ¯ ) ‖ 2 = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n ( a i b j − a j b i ) 2   , {\displaystyle \|{\bar {a}}\|^{2}\ \|{\bar {b}}\|^{2}-\|({\bar {a}}\cdot {\bar {b}})\|^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\ ,}

dove a e b sono vettori n-dimensionali le cui componenti sono numeri reali. Questa identità può essere estesa al caso complesso, come [4][5]

( ∑ k = 1 n | a k | 2 ) ( ∑ k = 1 n | b k | 2 ) − | ∑ k = 1 n a k b k | 2 = ∑ i = 1 n − 1 ∑ j = i + 1 n | a i b ¯ j − a j b ¯ i | 2 . {\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{2}{\biggr )}-{\biggl |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr |}^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}|a_{i}{\overline {b}}_{j}-a_{j}{\overline {b}}_{i}|^{2}.}

Dal momento che la parte destra dell'identità è chiaramente non-negativa, essa implica la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz nello spazio euclideo finito-dimensionale ℝn e la sua controparte complessa ℂn.

Identità di Lagrange e algebra esterna

Utilizzando il prodotto esterno, l'identità di Lagrange può essere scritta nel modo seguente:

( a ⋅ a ) ( b ⋅ b ) − ( a ⋅ b ) 2 = ( a ∧ b ) ⋅ ( a ∧ b ) . {\displaystyle (a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).}

Quindi, può essere vista come una formula che dà la lunghezza del prodotto esterno di due vettori, che è l'area del parallelogrammo che essi delineano, in termini di prodotto scalare dei due vettori, come

‖ a ∧ b ‖ = ( ‖ a ‖   ‖ b ‖ ) 2 − ‖ a ⋅ b ‖ 2 . {\displaystyle \|a\wedge b\|={\sqrt {(\|a\|\ \|b\|)^{2}-\|a\cdot b\|^{2}}}.}

Identità di Lagrange e calcolo vettoriale

Nelle tre dimensioni, l'identità di Lagrange asserisce che il quadrato dell'area di un parallelogrammo nello spazio è uguale alla somma dei quadrati delle sue proiezioni all'interno del sistema di coordinamento Cartesiano. Algebricamente, se a e b sono vettori in ℝ3 di lunghezza |a| e |b|, allora l'identità di Lagrange può essere scritta in termini del prodotto vettoriale e del prodotto scalare: [6][7]

‖ a ¯ ‖ 2   ‖ b ¯ ‖ 2 − ‖ ( a ¯ ⋅ b ¯ ) ‖ 2 = | a ¯ × b ¯ | 2 . {\displaystyle \|{\bar {a}}\|^{2}\ \|{\bar {b}}\|^{2}-\|({\bar {a}}\cdot {\bar {b}})\|^{2}=|{\bar {a}}\times {\bar {b}}|^{2}.}

Usando la definizione di angolo basata sul prodotto scalare, la parte sinistra è

| a ¯ | 2 | b ¯ | 2 ( 1 − cos 2 ⁡ θ ) = | a ¯ | 2 | b ¯ | 2 sin 2 ⁡ θ {\displaystyle |{\bar {a}}|^{2}|{\bar {b}}|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )=|{\bar {a}}|^{2}|{\bar {b}}|^{2}\sin ^{2}\theta }

dove θ è l'angolo formato dai vettori a e b. L'area del parallelogramma di lati |a| e |b| e di angolo θ si sa essere, secondo la geometria elementare,

| a ¯ | | b ¯ | | sin ⁡ θ | , {\displaystyle |{\bar {a}}|\,|{\bar {b}}|\,|\sin \theta |,}

allora la parte sinistra dell'identità di Lagrange è il quadrato dell'area del parallelogramma. Il prodotto vettoriale che compare nella parte destra è definito da

a ¯ × b ¯ = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i ¯ + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) j ¯ + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k ¯ {\displaystyle {\bar {a}}\times {\bar {b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\bar {i}}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\bar {j}}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\bar {k}}}

che è un vettore le cui componenti sono uguali in magnitudine alle aree delle proiezioni del parallelogrammo all'interno dei piani yz, zx e xy, rispettivamente.

Note

  1. ^ Eric W. Weisstein, CRC concise encyclopedia of mathematics, 2nd, CRC Press, 2003, ISBN 1-58488-347-2.
  2. ^ Robert E Greene and Steven G Krantz, Exercise 16, in Function theory of one complex variable, 3rd, American Mathematical Society, 2006, p. 22, ISBN 0-8218-3962-4.
  3. ^ Vladimir A. Boichenko, Gennadiĭ Alekseevich Leonov, Volker Reitmann, Dimension theory for ordinary differential equations, Vieweg+Teubner Verlag, 2005, p. 26, ISBN 3-519-00437-2.
  4. ^ J. Michael Steele, Exercise 4.4: Lagrange's identity for complex numbers, in The Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities, Cambridge University Press, 2004, pp. 68–69, ISBN 0-521-54677-X.
  5. ^ Robert E. Greene e Steven G. Krantz, Function Theory of One Complex Variable, Providence, R.I., American Mathematical Society, 2002, pp. 22, Exercise 16, ISBN 978-0-8218-2905-9.;
    Bruce P. Palka, An Introduction to Complex Function Theory, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1991, pp. 27, Exercise 4.22, ISBN 978-0-387-97427-9..
  6. ^ Howard Anton, Chris Rorres, Relationships between dot and cross products, in Elementary Linear Algebra: Applications Version, 10th, John Wiley and Sons, 2010, p. 162, ISBN 0-470-43205-5.
  7. ^ Pertti Lounesto, Clifford algebras and spinors[collegamento interrotto], 2nd, Cambridge University Press, 2001, p. 94, ISBN 0-521-00551-5.

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) Lagrange’s identity, in PlanetMath.
  • (EN) Eric W. Weisstein, Identità di Lagrange, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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