Insieme complemento
Nella teoria degli insiemi e in altri campi della matematica, il complemento di un insieme è l'insieme degli elementi che non appartengono a quell'insieme. Gli insiemi complemento si dividono nei complementi relativi (detti anche insieme differenza) e nei complementi assoluti.
Complemento relativo
Avendo due insiemi e , il complemento di rispetto a o l'insieme differenza meno , è formato dai soli elementi di che non appartengono ad . Esso si indica solitamente come oppure come . Formalmente abbiamo:
Si noti che l'insieme differenza è un sottoinsieme dell'insieme .
Esempi
Proposizioni
Se , e sono insiemi, allora valgono le seguenti identità:
Complemento assoluto
Il complemento assoluto è un caso particolare del complemento relativo.
Se è definito un insieme universo , si definisce complemento assoluto di come il complemento relativo di rispetto ad . Formalmente abbiamo:
Il complemento assoluto, indicato anche come , rappresenta anche il NOT nell'algebra Booleana.
A titolo di esempio, se l'insieme universale è l'insieme dei numeri naturali, allora il complemento dell'insieme dei numeri dispari è l'insieme dei numeri pari.
La prossima proposizione riporta alcune proprietà fondamentali del complemento assoluto in rapporto alle operazioni insiemistiche di unione e intersezione.
Se e sono sottoinsiemi di un insieme universo , allora valgono le seguenti identità.
- Leggi di De Morgan:
- Leggi di complementarità:
- Se , allora (ciò segue dall'equivalenza di una proposizione condizionale con la proposizione contronominale).
- Involuzione o legge del doppio complemento:
- Relazioni tra complemento relativo e complemento assoluto:
Le prime due leggi di complementarità mostrano che se è un sottoinsieme non vuoto di , allora è una partizione di .
Bibliografia
- Seymour Lipschutz, Topologia, Sonzogno, Etas Libri, 1979.
- (EN) Paul Halmos (1960): Naive set theory, D. Van Nostrand Company. Ristampato da Springer nel 1974, ISBN 0-387-90092-6.
- (FR) Nicolas Bourbaki (1968): Théorie des ensembles, Hermann.
Voci correlate
- Unione
- Intersezione
- Differenza simmetrica
- Sottoclasse
- Teoria degli insiemi
Collegamenti esterni
- (EN) complement, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Insieme complemento / Insieme complemento (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.
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