Em Álgebra linear, uma matriz quadrada é dita ortogonal se sua matriz inversa coincide com sua matriz transposta.[1]
Isto é, uma matriz é ortogonal se
Definição
Uma matriz é dita ortogonal se:
- ortogonal se for invertível, isto é: ; (necessário, mas não é suficiente)
- ortogonal se somente se sua matriz inversa coincide com sua matriz transposta , isto é: (necessário e suficiente)
Exemplos
- ;
- Matriz de reflexão em torno do eixo :
Propriedades
Matrizes ortogonais possuem as seguintes propriedades:[1]
- Se é uma matriz ortogonal, então .[demonstração 1]
- A matriz é ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.[demonstração 2]
- A matriz é ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal.[demonstração 3]
- A matriz é ortogonal se, e somente se, sua transposta também é.[demonstração 4]
- Se é uma matriz ortogonal, então é ortogonal se, e somente se, .[demonstração 5]
Ver também
- Matriz ortogonalmente diagonalizável
Referências
Bibliografia
- Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086
- Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445
- Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093
- Santos, Reginaldo J. (2013). Introdução à Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa universitária - UFMG. ISBN 8574700185
Demonstrações
- ↑ Da definição, tem-se que: , então . Pelo Teorema de Binet, , então .
No entanto, sabe-se também da definição que implica .
Logo, , de onde aplicando a raiz dos dois lados da equação, obtém-se . - ↑ Seja uma matriz ortogonal, onde indica a i-ésima coluna de . Como , temos , donde vemos que:
isto é, o conjunto formado pelos vetores coluna é um conjunto ortonormal.
Reciprocamente, se as colunas de formam um conjunto ortonormal de vetores, então vemos por cálculo direto que . - ↑ Segue raciocínio análogo do usado na demonstração da propriedade anterior.
- ↑ Segue imediatamente da observação de que:
- .
- ↑ Por hipótese, . Com isso, temos:
- .
Agora, se, e somente se, . Isso completa a demonstração.